Les MATHS

Exemple d'exercice de conversion : combien font 10 m exprimés en km ?

10 m =  ?? km

Comment faire ?
Je pars de ce que je sais : "kilo" veut dire "1000", donc 1 kilomètre = 1000 mètres.

Ok, 1 km = 1000 m

A ce moment là, on regarde la question et on voit bien que 1000 m, ça nous intéresse pas. Nous, ce qu'on veut, c'est 10 m.

Pas de soucis, on a qu'à faire des modifications de chaque côté de notre balance, pour transformer 1000 m en 10m (il suffit de diviser par 100, pour que la virgule fasse 2 sauts en arrière).

On trouve donc que 1/100 km = 10 m

On peut bien sûr l'écrire dans l'autre sens, donc 10 m = 1/100 km
                                                                                      |
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                                                                                     V
                                                                                   1/100 km = 0,01 km 

                                                           Donc 10 m = 0,01 km

On retrouve ce résultat en faisant le tableau de conversion :
10 m, c'est 1 décamètre. On met donc un 1 dans la colonne des décamètre. On voit bien qu'il n'y a rien dans la colonne des kilomètre, donc on met un 0 et une virgule. On complète les cases qui manquent par des 0.

Le signe =, c'est comme une balance en équilibre. Il faut imaginer que de chaque côté du signe =, il y a un plateau de la balance. Il doit toujours y avoir des choses de même poids, c'est-à-dire des choses équivalentes, de chaque côté, pour que la balance reste en équillibre. 

Exemple :

Maintenant, on va modifier ce qu'il y a sur les plateaux de la balance, mais comme on veut qu'elle reste en équilibre, il faut qu'on fasse exactement la même chose des deux côtés ! On va donc diviser par 2 de chaque côté :

Si on n'avait pas fait la même chose de chaque côté, on aurait perdu l'égalité ou encore l'équilibre, comme sur l'image suivante :

On peut aussi faire autre chose que diviser(division) ou multiplier(multiplication) par la même chose de chaque côté : on peut en effet ajouter (addition) ou retirer (soustraction) la même chose de chaque côté. Dans l'image suivante, j'ai rajouté (addition) une carotte de chaque côté !

Comme avant, si on avait pas ajouté ou retiré exactement la même chose des 2 côtés, on aurait perdu l'équilibre ou l'égalité, comme sur l'image suivante :

Je pense que maintenant tu as compris le principe de la balance : si on veut garder l'égalité (c'est toujours ce qu'on veut faire en maths), on doit faire exactement la même opération de chaque côté du signe =.
Tu vas voir que c'est vrai même pour des choses plus abstraites, comme des nombres ou même des lettres ! Regarde :

On voit que 3x sur un plateau "pèsent autant" que 2y sur l'autre plateau. C'est pourquoi on peut écrire 3x = 2y. 
Il ne faut pas se laisser impressionner par les lettres. 3x, c'est un peu comme 3 oeufs ou 3 carottes ! Pareil pour les y.

Maintenant tu vas voir qu'on peut toujours garder l'égalité si on fait exactement la même opération de chaque côté de la balance, ou plutôt de chaque côté du signe = 
Par exemple ici, on multiplie tout par 2 !

On aurait pu aussi très bien diviser de chaque côté par 2, même si ça ne tombe pas juste pour les x, et voilà ce qu'on aurait eu :

Et maintenant, on peut par exemple encore rajouter la même chose de chaque côté en gardant l'égalité. Allez, soyons fous, on rajoute une carotte de chaque côté !

on obtient donc 1,5x + carotte = y + carotte !

Par contre, si on avait pas fait la même chose des deux côtés, on aurait eu un déséquilibre, comme sur l'image suivante :

Ainsi, on trouve que 1,5x + 2 carottes, ce n'est pas égal à y + 1 carotte

Voilà, pour terminer, deux schémas en forme d'araignée, qui récapitulent tout ça. Ca marche pour les 4 opérations en maths, c'est-à-dire la multiplication, la division, l'addition, et la soustraction :

Tu vois qu'à partir de l'expression de base 7x = 4y, on peut faire plein de modifications, tant qu'on les fait de chaque côté.
On peut donc dire que 21x = 12y, ou encore que 0,7x = 0,4y, etc.

Ca marche bien sûr pour l'addition et la soustraction, comme on l'a déjà vu :

Ainsi, à partir de la même expression de base 7x = 4y, on peut faire des modifications tout en gardant l'égalité, il faut juste faire la même chose de chaque côté du signe = 
Par exemple, on peut dire que 7x - 35462 = 4y - 3562 !

Ici je t'écris un petit topo sur les connaissances qu'on a utilisées en maths sur l'aire et le périmètre ;-)

    "C'est quoi déjà la différence ?"

Bonne question, alors fais bien attention aux définitions suivantes :

• Le PERIMETRE d'une figure, c'est une longueur, la longueur du contour d'une figure.

exemples : 50 cm, 34 cm, 34 km, 27 hm etc. etc. 

• L'AIRE d'une figure, c'est une surface, la surface occupée par une figure.

exemples : 50 cm², 34 cm², 34 km², 27 hm²  --> Il faut faire attention à l'unité, qui est toujours "au carré" : cm², m² etc !!

 - Pour calculer le PERIMETRE, c'est facile : on fait la somme de tous les côtés de la figure.

Exemple : 

Le périmètre de cette figure, c'est : 5 + 5 + 4 + 6 + 3 + 1 +2 = 25 cm

Autre exemple : on a un pré de 50 m de longueur et 25m de largeur (le dessin n'est pas de moi ^^). On additionne la longueur des 4 côtés : 50 + 25 + 50 + 25 = 150 m.

Le fermier devra donc acheter 150 m de barbelés pour faire le tour de son pré, heureusement qu'il savait calculer un périmètre ^^ !

Les vaches, elles, par contre, s'en fichent de savoir calculer un périmètre. Les ptites veinardes...

 -Pour calculer l'AIRE d'une figure, eh ben.... ça dépend de la figure ! 

Pour cet exemple :

Ici, c'est difficile de calculer l'aire (en vert), parce qu'on a pas de formule pour des figures comme ça. Il faudrait découper la figure en rectangle et en triangles pour retomber sur des formules connues !

--> pour un RECTANGLE, c'est facile : longueur x largeur.

Ici, notre vache a donc un rectangle de : 4 x 8 = 32 m²

Pas étonnant qu'elle tire la tronche, vivre toute seule dans un 32 m², c'est pas super marrant...

--> pour un CARRE, on fait :  côté x côté

Par exemple, si on a une table carrée de 1,34 m de côté, on fera 1,34 x 1,34 = 1, 7956 m²

--> pour un TRIANGLE RECTANGLE, on commence par chercher où est l'angle droit, comme ça on trouve les côtés a et b.

Ensuite, ça revient à calculer l'aire du rectangle (dont une partie est en pointillés) en faisant a x b

      Mais alors, la formule, c'est la même que pour le rectangle ??!

Non, on voit bien que le triangle rectangle, c'est seulement la moitié du rectangle, donc il faut diviser par 2 !

Ca nous donne la formule : a x b
                              2  

Admettons que a = 5 cm et b = 4 cm, ça fera 5 x 4 = 20, et ensuite on divise par 2, ça donne 10 cm²

Salut cyrine, si tu veux assurer en maths, tu auras besoin des techniques de la multiplication et de la division décimale !

C'est quoi ces trucs ?

C'est simplement quand on a des chiffres à virgule dans la multiplication ou la division ! C'est pas très différent de la multiplication et de la division normales : je pense que ça devrait pas te poser trop de soucis, tu vas voir =) !

LA MULTIPLICATION DECIMALE.

Pour la multiplication, on la pose normalement (comme s'il n'y avait aucune virgule), puis à la fin on compte le nombre total de chiffres après la virgule (voir le schéma ci-dessous) :

Par contre, tu as vu, comme le résultat avait moins de 5 chiffres, on a rajouté des 0 pour pouvoir avoir nos 5 chiffres après la virgule !

LA DIVISION DECIMALE.

Pour la division, on mettra la virgule dans le quotient au moment où on descend le premier chiffre après la virgule du dividende (regarde bien les couleurs dans le schéma ci-dessous) :

Le bon réflexe : j'apprends le vocabulaire !

-dividende : c'est le nombre qu'on va diviser (par exemple j'ai 439,2 euros d'impôts à payer)

-diviseur : c'est le nombre par lequel on divise (exemple : je veux partager cette somme d'argent en 12 parties égales, pour mettre ce qu'il faut chaque mois sur un compte)

-quotient : c'est le résultat de la division (c'est-à-dire le montant que je vais mettre de côté chaque mois)

-reste : comme son nom l'indique, c'est ce qui reste parce qu'on arrive pas à le diviser ou parce qu'on décide d'arrêter la division. Par exemple, si t'essaies de diviser 10 par 3, il va toujours te reste quelque chose, parce que ça tombe jamais juste. Mais attention, le reste doit jamais être supérieur au diviseur.

Et pour la division par 10, 100, 1000, 10000 etc, c'est très facile : la virgule saute à reculons !! (un zéro = un saut à reculon !)

Pour résumer :

• 1) Quand on multiplie par 10, 100, 1000, 10000, etc. c'est très facile : on compte le nombre de zéros, et ça nous donne le nombre de sauts (en avant) que fait la virgule.

ATTENTION, car la virgule est parfois cachée ( 347 = 347,0 par exemple).

S'il n'y a rien à sauter, on rajoute un zéro en dessous de chaque saut ! (exemple : 28 x 10000 = 280000)

Bien sûr, en maths, dans sa copie, quand on multiplie par 100 par exemple, on ne dit pas que la virgule "fait 2 sauts", on dit qu'on "déplace la virgule de 2 rangs vers la droite".

• 2) Quand on divise par 10, 100, 1000, 10000, etc., même chose, mais en arrière : on compte le nombre de zéros, et ça nous donne le nombre de saltos arrières que fait la virgule.

ATTENTION, là encore la virgule peut être cachée !

Et s'il n'y a rien à sauter, même chose, on rajoute un zéro en dessous de chaque saut ! Et bien sûr, s'il n'y a rien devant la virgule quand elle a fini de sauter, on met un 0 aussi (exemple : 34,3 divisé par 1000 = 0,0343)

Et dans sa copie, si on divise par 1000 par exemple, on ne dit surtout pas que la virgule "fait 3 saltos arrières", on dit qu'on "déplace la virgule de 3 rangs vers la gauche".

Remarque : grâce à cette super technique du salto arrière, on peut facilement comprendre combien font 1 dizième, 1 centième, 1 millième, 1 dix-millième etc.

1 dizième = 1 : 10 = 0,1 (la virgule qui était cachée a fait UN salto en arrière car il y a UN zéro à 10)

1 centième = 1 : 100 = 0,01 (la virgule qui était cachée a fait DEUX saltos en arrière car il y a DEUX zéros à 100)

1 millième = 1 : 1000 = 0,001 (la virgule qui était cachée a fait TROIS saltos en arrière car il y a TROIS zéros à 1000)

etc.

Ici, la leçon sur les produits de facteur, en images !

Bien sûr, les facteurs et leurs produits sont des nombres !

On dira par exemple que "le produit de 2 et de 5 est 10" (car 2 x 5 = 10). Dans cette multiplication, 2 et 5 sont les facteurs.

On peut aussi avoir beaucoup de facteurs, par exemple 2 x 3 x 5 x 25 x 7 x 4.

Et comme l'ordre n'a pas d'importance, on peut faire des regroupements pour faciliter le calcul : 2 x 5 x 25 x 4 x 7 x 3 = 10 x 100 x 7 x 3 = 1000 x 7 x 3 = 7000 x 3 = 21000

Coucou Cyrine : comme on l'a vu ensemble, quand tu vois dans une consigne les mots "Expliquer", "Justifiez" ou "Démontrer", cela veut dire qu'il faut très sûrement appliquer LA méthode miracle qui fait gagner des points. 

1) ON SAIT QUE.....(DONC....)
2) PROPRIETE : Si ....., alors ....
3) CONCLUSION : On peut donc dire que .....

Pour bien comprendre :

Regarde bien les numéros et les flèches, ils t'aideront à bien comprendre comment ça marche ! 
Tu verras qu'il n'y a pas besoin que ce soit des maths pour comprendre le principe ;-)

PLUS SERIEUSEMENT :

1)              ON SAIT QUE...(DONC) :

-Dans cette 1ère partie de la méthode, on se sert des informations qu'on CONNAIT et qui sont DANS LA CONSIGNE.
-Malgré tout, ça peut aussi être une information qu'on déduit très facilement à partir de la consigne (c'est pour ça qu'on met parfois DONC).

exemple : ON SAIT QUE les points A, B et C sont alignés DONC [AB] et [BC] appartiennent à la même droite (AC).
               De plus, ON SAIT QUE (d1) est la médiatrice de [AB], DONC la droite (d1) est perpendiculaire à [AB]

2)                PROPRIETE / THEOREME :

La propriété (=théorème) se trouve dans le cahier de leçon ou dans le livre de maths ou dans sa tête (parce qu'il faut les apprendre par coeur et surtout les comprendre !). En général, la propriété ou le théorème sont composés de Si....... ALORS .....

exemple : SI deux droites sont perpendiculaires à une même troisième,  ALORS elles sont parallèles.
                  

3)                   CONCLUSION :

C'est la réponse directe à la question. Elle tient en une ou deux phrases maximum.

exemple : On peut donc dire que les droites (d1) et (d2) sont parallèles.

exemple : On peut donc dire que la droite (JK) est la médiatrice du segment [FG].

LES PROPRIETES :

Salut Cyrine : j'ai mis beaucoup de propriétés, mais ne t'affole pas :Tu n'as pas besoin de tout ça maintenant ! Au moins, tu es sûre que tout ce qui peut te servir est là !

Pour trouver rapidement la propriété que tu cherches, utilise le raccourci ctrl+f qui te permet de chercher un mot sur la page (appuie ensuite sur entrée pour continuer à chercher d'autres apparitions du mot).

EXEMPLE : tu as un DM, tu veux montrer que deux droites sont perpendiculaires, et dans la consigne on te parle de médiatrices --> dans ce cas, tu fais une recherche ctrl+f avec le mot "médiatrice", et tu élimines les propriétés qui ne prouvent pas que deux droites sont perpendiculaires. Et le tour est joué ! En plus, certaines propriétés sont des liens qui te renvoient vers une illustration pour mieux visualiser !

Le mieux, pour les propriétés, ce n'est PAS de les apprendre par coeur, c'est de les COMPRENDRE !
C'est-à-dire que tu dois pouvoir les fabriquer toute seule, à partir de l'image que tu as en tête 
EXEMPLE : j'ai en tête l'image d'une médiatrice --> je me rappelle alors que la médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce segment --> je "fabrique" la propriété sur le modèle SI.... ALORS... : 

Propriété : Si une droite est la médiatrice d'un segment, alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu.

Et voilà, le tour est joué, je n'ai pas eu à apprendre par coeur, mais j'ai en tête l'image de ce que c'est qu'une médiatrice, c'est suffisant.

Médiatrice :

Propriété : Si une droite passe par le milieu d'un segment et est perpendiculaire à ce segment, alors c'est la médiatrice de ce segment.

Propriété : Si un point est  égale distance des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est à égale distance des extrémités de ce segment.

Propriété : Le symétrique d'un point A par rapport à une droite (d) est le point A' tel que (d) soit la médiatrice du segment [AA']

Symétrie par rapport à une droite (symétrie axiale) :

Propriété : Si des points sont alignés, alors leurs symétriques par rapport à une droite sont eux aussi alignés.

Propriété : Dans une symétrie par rapport à une droite, une droite a pour symétrique une droite.

Propriété : Dans une symétrie par rapport à une droite, un segment a pour symétrique un segment de même longueur.

Propriété : Dans une symétrie par rapport à une droite, un cercle a pour symétrique un cercle de même rayon.

Propriété : Dans une symétrie par rapport à une droite, un angle a pour symétrique un angle de même mesure.

Propriété : Le symétrique d'un point A par rapport à une droite (d) est le point A' tel que (d) soit la médiatrice du segment [AA']

Propriété : Si deux figures sont symétriques, alors elles ont la même aire.

Propriété : Un cercle admet comme axe de symétrie n'importe qu'elle droite qui passe par son centre.

Propriété : Si un triangle est isocèle, alors il admet un axe de symétrie : la médiatrice de sa base.

Propriété : Si un triangle est équilatéral, alors il admet trois axes de symétrie : les médiatrices de ses trois côtés.

Propriété : Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base partage l'angle au sommet principal en deux angles de même mesure.

Propriété : Dans un triangle équilatéral, la médiatrice de chaque côté partage l'angle opposé en deux angles de même mesure.

Propriété : Un rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.

Propriété : Un losange a deux axes de symétrie : ses "diagonales" (ou plutôt les droites auxquelles appartiennent ses diagonales)

Propriété : Un carré a quatre axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés et ses "diagonales".

Milieu d'un segment :

Propriété : Si un point est le milieu d'un segment, alors il partage ce segment en deux segments de même longueur.

Droites parallèles :

Propriété : Si deux droites ne sont pas sécantes, alors elles sont parallèles.

Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors ces deux droites sont parallèles.

Propriété : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite parallèle à l'une est parallèle à l'autre.

Propriété : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Triangles particuliers :

Propriété : Si un triangle a deux côtés de même longueur, alors c'est un triangle isocèle.

Propriété : Si un triangle a trois côtés de même longueur, alors c'est un triangle équilatéral.

Propriété : Si un triangle a un angle droit, alors c'est un triangle rectangle.

Propriété : Si un triangle est isocèle, alors les angles à sa base ont la même mesure.

Propriété : Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles ont la même mesure (60° chacun).

Quadrilatères particuliers (rectangle, losange, carré) :

Propriété : Si un quadrilatère a quatre angles droits, alors c'est un rectangle.

Propriété : Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange.

Propriété : Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur et au moins un angle droit, alors c'est un carré.

Propriété : Si un quadrilatère est un rectangle, alors il a ses côtés opposés de même longueur.

Propriété : Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un carré.

Diagonales :

Propriété : Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales  se coupent en leur milieu.

Propriété : Si -"----------"---------"----"-------"------, alors ses diagonales  sont de même longueur.

Propriété : Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales sont perpendiculaires.

Propriété : Si -"---------"----------"----"-----"---, alors ses diagonales ont la même longueur.

Propriété : Si -"---------"----------"----"-----"---, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

Propriété : Si -"---------"----------"----"-----"---, alors ses "diagonales" (ou plutôt les droites auxquelles appartiennent ses diagonales) sont les bissectrices des angles.

Propriété : Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.

Propriété : Si -"----------"---------"----"------"------, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

Propriété : Si -"----------"---------"----"------"------, alors ses "diagonales" (ou plutôt les droites auxquelles appartiennent ces diagonales) sont les bissectrices des angles.

Parallélépipède rectangle :

Propriété : un parallélépipède rectangle a douze arêtes.

Propriété : un parallélépipède rectangle a huits sommets.

Propriété : Deux faces opposées d'un parallélépipède rectangle sont des rectangles superposables.

Propriété : Si un parallélépipède rectangle est un cube, alors ses faces sont des carrés.

Propriété : Si un parallélépipède rectangle a ses faces carrées, alors c'est un cube.

Aire : 

Propriété : Si deux figure sont superposables, alors elles ont la même aire.

Propriété : Si deux figures sont symétriques, alors elles ont la même aire.

Divisibilité :

Propriété : Si un nombre entier (ex : 1, 2, 3, 4, etc.) a pour chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8, alors il est divisible par deux (= il est "pair"). (Et sinon il est "impair").

Propriété : Si un nombre entier a pour chiffre des unités un 0 ou un 5, alors uniquement dans ce cas il est divisible par 5.

Propriété : Si un nombre entier a pour chiffre des unités un 0, alors uniquement dans ce cas il est divisible par 10.

Propriété : Si un nombre entier se termine par un chiffre des dizaines et un chiffre des unités qui forment un nombre divisible par 4, alors uniquement dans ce cas il est lui aussi divisible par 4.

Propriété : Si, pour un nombre entier, la somme de ses chiffres est divisible par 3, alors ce nombre entier est divisible par 3 lui aussi.

Propriété : Si, pour un nombre entier, la somme de ses chiffres est divisible par 9, alors ce nombre entier est divisible par 9 lui aussi.

LES FORMULES : 

Les formules ne servent pas vraiment à expliquer ou à démontrer (du moins pas toutes seules), elles permettent plutôt de calculer des choses (un périmètre, un aire, une longueur etc.)

Aire :

Aire du rectangle :    longueur x largeur. 

Aire du carré :    côté x côté (ou côté² qui se dit "côté au carré") 

Aire du triangle rectangle :    Pour calculer l'aire d'un triangle rectangle, on multiplie les longueurs des deux côtés de l'angle droit, puis on divise le produit par 2. 

Aire du triangle :    (base x hauteur) : 2

Aire du disque :     π x rayon x rayon

Périmètre :

Périmètre d'un carré :    côté x 4

Périmètre d'un rectangle :    (longueur + largeur) x 2

Périmètre d'un cercle :     π x diamètre    OU ALORS    π x 2 x rayon

Volume :

Volume d'un parallélépipède rectangle :   longueur x largeur x hauteur

Volume d'un cube :    arête x arête x arête